Кути, вписані в коло. Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Кути, вписані в коло. Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо на площині провести кут, то він розіб’є її на дві частини, кожна з яких називається плоским кутом. Ці кути мають спільні сторони.

Два кути, що мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їх сума дорівнює 360°.

Якщо в колі побудувати плоский кут так, що його вершиною буде центр кола, то матимемо кут, який називається центральним кутом. Отже, центральним кутом у колі називається плоский кут із вершиною в центрі кола.

Частина кола, яка знаходиться всередині плоского кута, називається дугою кола.

Градусна міра дуги кола — це градусна міра відповідного центрального кута.

Кажуть, що градусна міра центрального кута кола дорівнює градусній мірі дуги кола, на яку він опирається.

У колі кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло, називається вписаним кутом. Градусна міра вписаного в коло кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Якщо в колі центральний і вписаний кут спираються на одну й ту ж дугу, то градусна міра вписаного кута удвічі менша за градусну міру центрального кута. Уписані в деяке коло кути, що спираються на одну й ту саму дугу кола, мають рівні градусні міри незалежно від розміщення на колі їх вершин.

Говорять, що вписаний кут спирається на хорду, що стягує відповідну дугу кола. Тоді є справедливим таке твердження: усі вписані кути деякого кола, що спираються на одну й ту саму хорду і лежать з одного боку від неї, мають однакові градусні міри, тобто рівні. Якщо ж два вписані кути деякого кола спираються на одну й ту саму хорду і лежать із різних боків від неї, то їхня сума дорівнює 180°.

Градусні міри дуг кола, що лежать між двома паралельними хордами, рівні.

Усі вписані в деяке коло кути, що спираються на діаметр, є прямими.

Запам’ятайте!

- центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить усередині трикутника;

- центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником;

- центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи трикутника.

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники і дорівнює половині гіпотенузи. Водночас вона є радіусом кола, описаного навколо цього трикутника.

Справедливими є й такі твердження:

-   якщо медіана деякого трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то протилежний до цієї сторони кут є прямим.

-   якщо гіпотенуза деякого прямокутного трикутника є діаметром кола, то даний трикутник є вписаним у це коло.

Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо у колі дві хорди перетинаються, то вони точкою перетину діляться кожна на два відрізки. Точка перетину двох хорд у колі ділить їх на пропорційні відрізки, з чого випливає, що добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди.

Якщо з точки поза колом проведено до кола дотичну, то відрізок дотичної, що сполучає цю точку з точкою дотику, називають відрізком дотичної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну, то вона перетинає коло у двох точках, а відрізок, що сполучає точку поза колом з однією точкою перетину, і відрізок, що сполучає точку поза колом з другою точкою перетину, називають відрізками січної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну і дотичну, то відрізки січної і дотичної пропорційні, з чого випливає, що квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної.

Якщо з точки поза колом до кола проведено дві січні, то утворені відрізки січних пропорційні, з чого випливає, що добуток відрізків однієї січної дорівнює добутку відрізків другої січної.

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін чотирикутника.

 

Властивість бісектриси трикутника

Властивість бісектриси трикутника

Трикутник є найпростішою геометричною фігурою, тому відомо багато теорем про його елементи, одним із яких є бісектриса.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до точки перетину з протилежною стороною.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — в центрі вписаного в трикутник кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам, а саме на відрізки, відношення яких дорівнює відповідно відношенню прилеглих до них двох інших сторін трикутника.

 Або бісектриса трикутника розбиває деяку сторону на дві такі частини, що відношення однієї з них до прилеглої до неї сторони трикутника дорівнює відношенню другої частини до відповідно прилеглої до неї сторони трикутника.

Корисними при розв’язанні задач є властивості елементів прямокутного трикутника.

Співвідношення в прямокутному трикутнику

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.

 Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

Ознаки подібності трикутників

Ознаки подібності трикутників

 Подібні трикутники. Два трикутники називаються подібними, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.

 

 1. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

3. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

4. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і найбільший із протилежних їм кутів одного трикутника дорівнює відповідному куту другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Ознаки подібності прямокутних трикутників

 За гострим кутом. Якщо прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. У прямокутного трикутника один кут прямий, тому для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.

За двома пропорційними катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника пропорційні катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

За пропорційними катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.

Зверніть увагу! Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на два трикутники, подібні один одному і подібні даному трикутнику.