Кути, вписані в коло. Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Кути, вписані в коло. Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо на площині провести кут, то він розіб’є її на дві частини, кожна з яких називається плоским кутом. Ці кути мають спільні сторони.

Два кути, що мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їх сума дорівнює 360°.

Якщо в колі побудувати плоский кут так, що його вершиною буде центр кола, то матимемо кут, який називається центральним кутом. Отже, центральним кутом у колі називається плоский кут із вершиною в центрі кола.

Частина кола, яка знаходиться всередині плоского кута, називається дугою кола.

Градусна міра дуги кола — це градусна міра відповідного центрального кута.

Кажуть, що градусна міра центрального кута кола дорівнює градусній мірі дуги кола, на яку він опирається.

У колі кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло, називається вписаним кутом. Градусна міра вписаного в коло кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Якщо в колі центральний і вписаний кут спираються на одну й ту ж дугу, то градусна міра вписаного кута удвічі менша за градусну міру центрального кута. Уписані в деяке коло кути, що спираються на одну й ту саму дугу кола, мають рівні градусні міри незалежно від розміщення на колі їх вершин.

Говорять, що вписаний кут спирається на хорду, що стягує відповідну дугу кола. Тоді є справедливим таке твердження: усі вписані кути деякого кола, що спираються на одну й ту саму хорду і лежать з одного боку від неї, мають однакові градусні міри, тобто рівні. Якщо ж два вписані кути деякого кола спираються на одну й ту саму хорду і лежать із різних боків від неї, то їхня сума дорівнює 180°.

Градусні міри дуг кола, що лежать між двома паралельними хордами, рівні.

Усі вписані в деяке коло кути, що спираються на діаметр, є прямими.

Запам’ятайте!

- центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить усередині трикутника;

- центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником;

- центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи трикутника.

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники і дорівнює половині гіпотенузи. Водночас вона є радіусом кола, описаного навколо цього трикутника.

Справедливими є й такі твердження:

-   якщо медіана деякого трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то протилежний до цієї сторони кут є прямим.

-   якщо гіпотенуза деякого прямокутного трикутника є діаметром кола, то даний трикутник є вписаним у це коло.

Пропорційність відрізків хорд, січних і дотичних

Якщо у колі дві хорди перетинаються, то вони точкою перетину діляться кожна на два відрізки. Точка перетину двох хорд у колі ділить їх на пропорційні відрізки, з чого випливає, що добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди.

Якщо з точки поза колом проведено до кола дотичну, то відрізок дотичної, що сполучає цю точку з точкою дотику, називають відрізком дотичної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну, то вона перетинає коло у двох точках, а відрізок, що сполучає точку поза колом з однією точкою перетину, і відрізок, що сполучає точку поза колом з другою точкою перетину, називають відрізками січної.

Якщо з точки поза колом проведено до кола січну і дотичну, то відрізки січної і дотичної пропорційні, з чого випливає, що квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізків січної.

Якщо з точки поза колом до кола проведено дві січні, то утворені відрізки січних пропорційні, з чого випливає, що добуток відрізків однієї січної дорівнює добутку відрізків другої січної.

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін чотирикутника.